İkiden fazla değişken varsa birden fazla uzun dönem denge ilişkisi ortaya çıkabilir.Bu durumda Johansen eşbütünleşme testi kullanılır.
Genel olarak m sayıda eşbütünleştirici vektör görülebilir. Dolayısıyla m=2 olması durumunda değişkenler eşbütünleşik ise tek bir eşbütünleştirici vektör olacaktır. M > 2 olması durumunda ise tek bir eşbütünleştirici vektör ortaya çıkabileceği gibi birden fazla eşbütünleştirici vektör de söz konusu olabilir.
Johansen testi özdeğer ve öz vektörlere dayanarak hesaplanan bir testtir. Bu testin ilk aşamasında Engle- Granger testindeki gibi durağanlık dereceleri belirlenir. Aynı mertebede durağan olan seriler için uygun gecikme sayısı bulunur. Uygun gecikme sayısının belirlenmesi için öncelikle VAR modeli kurulur. Akaike ve Schwarz bilgi kriterleriyle gecikme sayısına karar verilir.
Johansen eşbütünleşme analizinde π matrisinin rankının bilinmesi gerekmektedir. Π matrisi, π = αβ şeklinde ifade edilir.
Bu gösterimde
- β eşbütünleşme matrisi
- α her bir eşbütünleşme vektörünün parametrelerine ilişkin ağırlıkları vermektedir
Johansen eşbütünleşme analizinde
- r(π) = 0 ise eşbütünleşme yoktur.
- r(π) = 1 ise 1 tane eşbütünleşme ilişkisi vardır.
- r(π) = 2 ise 2 tane eşbütünleşme ilişkisi vardır.
- r(π) = r ise r tane eşbütünleşme ilişkisi vardır.
1 ≤ r(n) ≤ n-1 ise r(π) = r olacaktır.
π matrisinin rankı belirlenmişse değişkenler arasında eşbütünleşme ilişkisinin var olup olmadığı bulunur.
π matrisinin rankının belirlenmesi amacıyla 2 farklı test geliştirilmiştir.
- λmax maksimum özdeğer istatistiği
- λiz iz istatistiği
Johansen eşbütünleşme analizinin son aşamasında standartlaştırılmış α ve β vektörleri kullanılarak eşbütünleşme ilişkileri yazılır.
Standartlaştırılmış α vektörünün satırındaki en büyük pozitif değer ortak bütünleşme ilişkisindeki içsel terimi ifade etmektedir. Bu terim belirlendikten sonra standartlaştırılmış β vektörü kullanılarak katsayılar belirlenir.
Johansen eşbütünleşme analizi ile Engle-Granger eşbütünleşme analizi arasında bazı farklılıklar bulunmaktadır.
- Engle-Granger yöntemi sadece bir eşbütünleşme bulabilirken, Johansen yöntemi, VAR yöntemini kullandığı için birden fazla eşbütünleşme ilişkisi bulabilir.
- Her iki yöntem de statik model tahmin eder fakat Johansen yöntemi kısa dönemli ilişkileri de gösterebilir.
- Johansen yöntemi öngörü amaçlı kullanılabilir, oysa Engle-Granger yöntemi öngörü için uygun değildir
- Johansen yönteminde bütün değişkenler içsel iken, Engle-Granger yönteminde değişkenler ve değişkenler arasındaki ilişkiler tamamen iktisat teorisine göre belirlenmektedir.
- Engle-Granger yönteminde sıfır kısıtlama yapılırken, Johansen yönteminde böyle bir kısıtlama yoktur.
- Johansen yönteminde gecikme sayısının bulunması bir dezavantajdır.
- Engle-Granger yöntemi en küçük kareler yöntemini kullanırken, Johansen yöntemi en çok olabilirlik yöntemini kullanmaktadır.
